Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E lần lượt lấy các điểm di dộng D và E sao cho $\widehat{DOE}=60°$.

a) Chứng minh tích $BD.CE$ không đổi.

b) Chứng minh $△BOD~△OED$. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của $\widehat{BDE}$.

c) Vẽ đường tròn tâm(O) tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Giải:

a) Ta có: $\widehat{EOC}+\widehat{OEC}+\widehat{ECO}=180°$(tổng ba góc trong tam giác)

Mà $\widehat{DOE}=\widehat{ECO}=60°$(gt)

nên $$\begin{gathered} \widehat{EOC}+\widehat{DEC}+\widehat{DOE}=180° \left(1\right) \\ \widehat{BOD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOC}=180°\left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{BOD}=\widehat{OEC} \left(3\right)$

Lại có: $\hat{B}=\hat{C}=60°$

Từ (3) và (4) $\Rightarrow △BOD~△CEO$ (g.g)

$\Rightarrow BC.CE=OB.OC=\frac{B{C}^2}{4}$ (không đổi)

b) Từ kết quả câu a$\Rightarrow \frac{BD}{OD}=\frac{OC}{OE}$

hay $\frac{BD}{OD}=\frac{OB}{OE}$, dẫn tới $△BOD~△OED$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BDO}=\widehat{ODE}$

Vậy OD là phân giác của góc BDE.

c) Vẽ $OK\perp DE$. Gọi H là tiếp điểm của (O) với AB. Hai tam giác vuông OHD và OKD có:

OD cạnh huyền chung

$\widehat{HDO} = \widehat{KDO}$

$\Rightarrow △OHD=△OKD$ (cạnh huyền góc nhọn)

$\Rightarrow OH=OK$

Vậy đường tròn luôn tiếp xúc với DE.