Chu vi hình chữ rhật ABCD là 20 cm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường chéo AC.

Giải:

Gọi dộ dài cạnh AB là x thì độ dài cạnh BC là $\frac{20}{2}-x=10-x$. Theo định lí Pitago ta có:

$$\begin{gathered} A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=x^2+{\left(10-x\right)}^2=2\left(x^2-10x+50\right) \\ =2\left[{\left(x-5\right)}^2+25\right]\ge 50 \end{gathered}$$

Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất là 50 khi ${\left(x-5\right)}^2=0\iff x=5$.

Khi đó $AB=5, BC=10-5=5$, hình chữ nhật trở thành hình vuông đường chéo là $AC=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \left(cm\right)$.