Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. Chứng minh :

a) $B{D}^2=AD.CD$;

b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp ;

c) BC song song với DE.

Giải:

a) Ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{BCE}$ (cùng chắn $\stackrel{⏜}{BC}$)

$\widehat{ADB}=\widehat{BDC}=\widehat{D_1}$

nên $△ADB~△BDC \left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{AD}{BD}\Rightarrow B{D}^2=AD.CD$

b) Áp dụng định lí góc có đỉnh bên ngoài đường tròn vói $\widehat{E_1}, \widehat{D_1}$.

Ta có:

$$\begin{gathered} sđ\widehat{E_1}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AC}-sđ\stackrel{⏜}{BC}\right) \\ sđ\widehat{D_1}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{BC}\right) \end{gathered}$$

mà $AB=AC$ ($AB=AC$ do $△ABC$ cân tại A

$\Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{D_1}$

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn (có E và D cùng nhìn dưới một góc không đổi).

c) Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ ($△ABC$ cân)

$\widehat{ACB}+\widehat{BCD}=180°$

$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180° \left(1\right)$

Măt khác $\widehat{BED}+\widehat{BCD}=180° \left(2\right)$

(tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng $180°$)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{BED}$

Hai góc ABC và BED cùng bằng nhau ở vị trí so le trong nên BC // DE.