Thảo luận (Trang 41 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 1)

Ta đã biết tính cosA theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sinA và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC không?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ ( định lí cô sin)

Mặt khác cos²A + sin²A = 1  

           ⇔ sin²A = 1 – cos²A

           ⇔ ${\sin }^2 A = 1 -{\left( \frac{b^2 +\hspace{0.17em}{c}^2 - a^2}{2bc}\right)}^2$

          $\iff \sin A =$$\sqrt{\frac{4b^2{c}^2 -\left( b^2 +\hspace{0.17em}{c}^2 - a^2\right)}{4b^2{c}^2}}$

Khi đó diện tích tam giác ABC là: 

$S_{∆ABC} = \frac{1}{2} . AB . AC . \sin A = \frac{1}{2}bc . \sqrt{\frac{4b^2{c}^2 -\left( b^2 +\hspace{0.17em}{c}^2 - a^2\right)}{4b^2{c}^2}}$

             $= \frac{1}{4}\sqrt{\left(a - b +\hspace{0.17em}c\right)\left(a + b - c\right)\left(b + c - a\right)\left(b + c +a\right)}$