Bài 3.11 (Trang 43 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 1)

Hướng dẫn giải Bài 3.11 (Trang 43 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 1)

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ. <img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/14062022/21-ZY1D3i.png" /> Lời giải: Ta có hình vẽ sau: <img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/14062022/22-3YT3T8.png" /> Xét ΔABC, có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>B</mi><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>.</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>.</mo><mi>cos</mi><mi>B</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>đ</mi><mi>ị</mi><mi>n</mi><mi>h</mi><mo> </mo><mi>l</mi><mi>í</mi><mo> </mo><mi>cos</mi><mo>)</mo><mspace linebreak="newline"/><mo>=</mo><msup><mn>8</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>6</mn><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>8</mn><mo>.</mo><mn>6</mn><mo>.</mo><mi>cos</mi><mn>105</mn><mo>°</mo><mspace linebreak="newline"/><mo>≈</mo><mn>124</mn><mo>,</mo><mn>85</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>≈</mo><mn>11</mn><mo>,</mo><mn>17</mn><mo> </mo><mi>k</mi><mi>m</mi><mo>.</mo><mspace linebreak="newline"/><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mfrac><mo>⇔</mo><mi>sin</mi><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>.</mo><mi>sin</mi><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>≈</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>69</mn><mo>⇒</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mn>43</mn><mo>,</mo><mn>77</mn><mo>°</mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>-</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>-</mo><mn>43</mn><mo>,</mo><mn>77</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mn>91</mn><mo>,</mo><mn>23</mn><mo>°</mo><mo>.</mo></math> Xét ΔADC, có: AD2 = AC2 + DC2 – 2AC.DC.cosACD (định lí cos) = 11,172 + 122 – 2.11,17.12.cos91,230 ≈ 274,52 ⇒ AD ≈ 16,57 km. Độ dài đoạn đường cũ là: AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26 km. Độ dài đường cũ hơn độ dài đoạn đường mới: 26 – 16,57 = 9,43 km. Vậy độ dài đường mới giảm 9,43 km so với đoạn đường cũ.

Xem lời giải bài tập khác cùng bài