Hoạt động 6 (Trang 67 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, $\widehat{BAC} = \alpha$. Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc nhọn, chứng minh: 

a) HC = |AC – AH| và BC² = AB² + AC² – 2AH . AC; 

b) a² = b² + c² – 2bc . cos α. 

Hướng dẫn giải

a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C. 

$\Rightarrow HC = AC – AH = |AC – AH|.$

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có: 

BC² = BH² + HC² = BH² + (AC – AH)² = (BH² + AH²) + AC² – 2AH . AC 

        = AB²  + AC² – 2AH . AC. 

b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: AH = AB cosA = cosα. 

Do đó BC² = AB² + AC² – 2 . AH . AC = b² + c² – 2bc cosα. 

Vậy a² = b² + c² – 2bc cos α. 

Hoạt động 7 (Trang 67 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, $\widehat{BAC} = \alpha$. Kẻ đường cao BH

Cho α là góc tù. Chứng minh:

a) HC = AC + AH và BC² = AB² + AC² + 2 AH . AC; 

b) a² = b² + c² – 2bc cos α. 

Hướng dẫn giải

a) Do α là góc tù nên A nằm giữa H và C. Do đó: HC = AC + AH. 

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có: 

BC² = BH² + HC² = BH² + (AC + AH)² 

        = (BH² + AH²) + AC² + 2AH . AC 

        = AB² + AC² + 2AH . AC. 

b) Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có: 

AH = AB cos(180° – α) = – c cos α. 

Do đó BC² = AB² + AC² + 2AH . AC = b² + c² – 2bc cos α. 

Vậy a² = b² + c² – 2bc cos α.