Bài 3 (Trang 71, SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)

Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7, BC = 8. Tính $\cos \left(A\right), \sin \left(A\right)$ và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

$\cos \left(A\right) = \frac{A{B}^2 + A{C}^2 - B{C}^2}{2AB.AC} = \frac{6^2 + 7^2 - 8^2}{2.6.7} = \frac{1}{4} > 0$

Do đó góc A nhọn nên ta có: ${\sin }^2\left(A\right) + {\cos }^2\left(A\right) = 1$

$\Rightarrow {\sin }^2\left(A\right) = 1 - {\cos }^2\left(A\right) = 1 - {\left(\frac{1}{4}\right)}^2 = \frac{15}{16}$

Do đó: $\sin \left(A\right) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin \left(A\right)} = 2R \Rightarrow R = \frac{8}{2.{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}} = \frac{16\sqrt{15}}{15}$

Chú ý: Nếu không nhớ công thức sin²A + cos²A = 1 (đã học ở lớp 9), ta có thể tính góc A khi biết cosA để từ đó suy ra sinA.