Bài 5 (Trang 71, SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\sin \left(\frac{A}{2}\right) = \cos \left(\frac{B+C}{2}\right);$

b) $\tan \left(\frac{B+C}{2}\right) = \mathrm{co}t\left(\frac{A}{2}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC có: $\widehat{A }+\widehat{ B} +\widehat{ C} = 180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \frac{\hat{A} + \hat{B} +\widehat{ C}}{2} = \frac{180°}{2} = 90°$ hay $\frac{\hat{A}}{2}+\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}=90°\Rightarrow \frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}=90°-\frac{\hat{A}}{2}$

Áp dụng giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau ta có: 

$\sin \left(\frac{\hat{A}}{2}\right) = \cos \left(90°-\frac{\hat{A}}{2}\right) = \cos \left(\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}\right)$ (đpcm câu a)

$cot\left(\frac{\hat{A}}{2}\right) = \tan \left(90°-\frac{\hat{A}}{2}\right) = \tan \left(\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}\right)$ (đpcm câu b).