Trong không gian Oxyz cho bốn điểm$A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1).$

a) Chứng mỉnh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích tứ diện ABCD.

b) Viết phương tình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

c) Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song mặt phẳng (ABD).

Giải:

a) $\overrightarrow{AB}=(-1;0;0); \overrightarrow{AC}=(0;0;4); \overrightarrow{AD}=(0;-2;0)$

Ta có : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=0$

Suy ra AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một.

Thể tích tứ diện ABCD là: $V_{ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.AD=\frac{1}{6}.AB.AC.AD=\frac{4}{3}.$

b) Gọi M là trung điểm BC ta có $M(\frac{3}{2};4;1)$

Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (ABC) ta suy ra d chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đường thẳng AD.

Khi đó giao điểm của (P) và d chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có: $\overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_I=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}.0=\frac{3}{2}\\ y_I=4+\frac{1}{2}.(-2)=3\\ z_I=1+\frac{1}{2}.0=1\end{array}\right.$

Vậy tâm mặt cầu (S) là $I (\frac{3}{2};3;1)$$,$bán kính 

Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=\frac{21}{4}$

c) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1;0;0); \overrightarrow{AD}=(0;-2;0)$$\stackrel{}{}$$$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right]=(0;0;2)$

Mặt phẳng (ABD) có một VTPT là:$\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}.\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right] =\left(0;0;1\right)$

Do $(\alpha )$ song song với (ABD) nên cũng nhận $\overrightarrow{n}=\left(0;0;1\right)$ làm VTPT

Suy ra phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $\left(\alpha \right) z+D=0$.

$(\alpha )$ tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right)\Rightarrow d(I,( \alpha \left)\right)=r$

$\iff |1+D|=\frac{\sqrt{21}}{2}\iff \left\{\begin{array}{l}D=-1+\frac{\sqrt{21}}{2}\\ D=-1-\frac{\sqrt{21}}{2}\end{array}\right.$

Vậy có hai mặt phẳng $(\alpha )\; thỏa\; mãn\; đề\; bài:$

$\left({\alpha }_1\right): z-1+\frac{\sqrt{21}}{2}=0$

$\left({\alpha }_2\right): z-1-\frac{\sqrt{21}}{2}=0$