Trong không gian cho ba điểm A,B,C

a) Xác định điểm G sao cho $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC} =\overrightarrow{0}$

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho $M{A}^2+2M{B}^2-2M{C}^2=k^2$, với k là hằng số

Giải

a) Ta có : $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC} =\overrightarrow{0} \iff \overrightarrow{GA}+2(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}) =\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{0} \iff \overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{CB}$

Suy ra G nằm trên đường thẳng qua A và song song với CB sao cho $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{CB}$

b) Ta có: ${\overrightarrow{MA}}^2+2{\overrightarrow{MB}}^2-2{\overrightarrow{MC}}^2=k^2$

$\iff {\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{MG}\right)}^2-2{\left(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM}\right)}^2-2{\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM}\right)}^2=k^2$

$\iff {\overrightarrow{GA}}^2+2{\overrightarrow{GB}}^2-2{\overrightarrow{GC}}^2+{\overrightarrow{GM}}^2 -2\overrightarrow{GM}\left(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC}\right)=k^2$

$\iff {\overrightarrow{MG}}^2=k^2-\left(G{A}^2+2G{B}^2-2G{C}^2\right)$

Từ đó suy ra:

• Nếu $k^2-\left(G{A}^2+2G{B}^2-2G{C}^2\right)<0$ thì M không tồn tại.
• Nếu $k^2-\left(G{A}^2+2G{B}^2-2G{C}^2\right)=0 thì M\equiv G$
• Nếu $k^2-\left(G{A}^2+2G{B}^2-2G{C}^2\right)>0$ thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm tâm G, bán kính bằng $\sqrt{k^2-\left(G{A}^2+2G{B}^2-2G{C}^2\right)}$