Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

$d_1: \left\{\begin{array}{c}x =-1+3t\\ y=1+2t\\ z=3-2t\end{array}\right. d_2: \left\{\begin{array}{c}x =t\text{'}\\ y=1+t\text{'}\\ z=-3+2t\text{'}\end{array}\right.$

a) Chứng minh d₁ và d₂ cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng đó.​

Giải 

a) 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}-1+3t=t\text{'}\\ 1+2t=1+t\text{'}\\ 3-2t=-3+2t\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=1\\ t\text{'}=2\end{array}\right.$

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau tại $M(2;3;1)$⇒ d₁ và d₂ cùng thuộc một mặt phẳng.

b) $d_1 và d_2$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_1}=\left(3;2;-2\right), \overrightarrow{a_2}=\left(1;0;2\right)$

$\left[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}\right]=(6;-8;1)$

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $M(2;3;1)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}\right] =(6;-8;1)$

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng$\left(\alpha \right) chứa d_1 và d_{2 }là :$

$6(x-2)-8(y-3)+1(z-1)=0\iff 6x-8y+z+11=0$