Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4;-1;1), D(3; 0 ;3)

a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC).

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB} = \left(2;4;-1\right), \overrightarrow{Ac} = \left(3;-1;2\right), \overrightarrow{AD} = \left(2;0;4\right)$

Ta có: $\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right] = \left(7;-7;-14\right)$

$\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right] .\overrightarrow{ AD}= 2.7+4(-14)=-42\ne 0.$

Vậy A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Mp(ABC) đi qua A có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n} =\left(1;-1;-2\right)$

Vậy (ABC) có phương trình là:

$1(x-1)-1(y-0)-2(z+1)=0\iff x-y-2z-3=0$

Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là:

$d(D,(ABC\left)\right)=\frac{\left|3-6-3\right|}{\sqrt{1+1+4}}=\sqrt{6}$

c) Gọi (S) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Giả sử phương trình (S) có dạng: $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz +d=0$, điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$(*)

Do (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}2-2a+2c+d=0\\ 29-6a-8b+4c+d= 0\\ 18-8a+2b-2c+d = 0\end{array}\\ 18-6a-6c+d=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}4a+8c=0\\ -8b+c= 11\\ -2a+2b-4c= 0\end{array}\\ d=6a+6c-18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}a=3\\ b=2\\ c=\frac{1}{2}\end{array}\\ d=3\end{array}\right.$

Ta có : $a^2+b^2+c^2-d=\frac{41}{4}>0$

Vậy phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

$x^2+y^2+z^2-6x-4y-z+3=0$

d) Thể tích tứ diện ABCD là:$V = \frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}\right|=\frac{1}{6}\left|-42\right|=7$