Hướng dẫn Giải Bài 4 (trang 99, SGK Toán 12, Hình học)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1); B(7;-2;3) và đường thẳng d có phương trình <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mi>t</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>t</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>z</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>t</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></math> a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng. b) Tìm điểm I trên d sao cho AI + BI nhỏ nhất. Giải:   <img class="wscnph" style="float: right;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/d28f5d49-d4fc-400d-b312-ac99b3060831.PNG" /> a) Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfenced><mrow><mn>6</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mn>4</mn></mrow></mfenced></math> Vecto chỉ phương của d là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><msub><mi>a</mi><mi>d</mi></msub><mo>→</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfenced><mrow><mn>3</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mn>2</mn></mrow></mfenced></math>  Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mover><msub><mi>a</mi><mi>d</mi></msub><mo>→</mo></mover><mo> </mo></math> và A <span id="MathJax-Element-5-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="box-sizing: border-box; margin: 0px; padding: 1px 0px; overflow-wrap: normal; word-break: break-word; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: 400; font-size: 18.08px; letter-spacing: normal; word-spacing: 0px; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; color: #131313; font-family: Quicksand; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; orphans: 2; widows: 2; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: #ffffff; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>&#x2209;</mo><mi>d</mi></math>">∉d nên AB // d. Vậy AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng. b) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d, ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>I</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mi>I</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mo>′</mo><mi>I</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mi>I</mi><mo> </mo><mo>≥</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mo>′</mo><mi>B</mi></math> A'I + BI ngắn nhất ⇔ A', I, B thẳng hàng. Vậy điểm I cần tìm là giao điểm của A'B và d. Gọi M là trung điểm của AB, ta có M(4;0;1) và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>M</mi><mi>I</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>⊥</mo><mover><msub><mi>a</mi><mi>d</mi></msub><mo>→</mo></mover><mo>⇔</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>M</mi><mi>I</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mover><msub><mi>a</mi><mi>d</mi></msub><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></math> Giả sử I (-1 + 3t, 2 - 2t, 2 + 2t) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>M</mi><mi>I</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>5</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mi>t</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>)</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>M</mi><mi>I</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mover><msub><mi>a</mi><mi>d</mi></msub><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mo> </mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>5</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>t</mi><mo> </mo><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mi>t</mi><mo> </mo><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mi>t</mi><mo> </mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mo> </mo><mo> </mo><mn>17</mn><mi>t</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>17</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></math> Vậy I(2; 0; 4).

GV:

GV colearn

Xem lời giải bài tập khác cùng bài

Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 99 SGK Toán Hình học 12)