Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1); B(7;-2;3) và đường thẳng d có phương trình $\left\{\begin{array}{c}x =-1 + 3t\\ y =2 - 2t\\ z = 2 + 2t\end{array}\right.$

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Tìm điểm I trên d sao cho AI + BI nhỏ nhất.

Giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left(6; -4; 4\right)$

Vecto chỉ phương của d là $\overrightarrow{a_d} = \left(3; -2; 2\right)$ 

Ta có $AB = 2\overrightarrow{a_d}$ và A $\notin d$ nên AB // d.

Vậy AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d, ta có $AI + BI = A\prime I + BI \ge A\prime B$

A'I + BI ngắn nhất ⇔ A', I, B thẳng hàng.

Vậy điểm I cần tìm là giao điểm của A'B và d. Gọi M là trung điểm của AB, ta có M(4;0;1) và $\overrightarrow{MI}\perp \overrightarrow{a_d}\iff \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{a_d}=0$

Giả sử I (-1 + 3t, 2 - 2t, 2 + 2t)

$\overrightarrow{MI}= (-5 + 3t, 2-2t, 1+ 2t)$

$\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{a_d}=0\iff 3 (-5+3t )-2( 2-2 t )+2( 1+2 t )=0$

$\iff 17t - 17 = 0 \iff t = 1$

Vậy I(2; 0; 4).