Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm B'C' và C'D'. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A'. Tính thể tích của (H).

Giải: 

Đường thẳng EF cắt A'B' và A'D' lần lượt tại M và N.

Gọi I là giao điểm của AN và DD', J là giao điểm của AM và BB'.

Mặt phẳng (AEF) cắt hình lập phương theo thiết diện là ngũ giác AIFEJ.

Ta có: MB' = ND' = $\frac{a}{2}$

Do đó: $\frac{ID\text{'}}{ID} = \frac{D\text{'}N}{DA} = \frac{1}{2} \Rightarrow ID\text{'} = \frac{a}{3}$

Tương tự: JB' = $\frac{a}{3}$

Ta có : $V_{J.B\text{'}ME} = V_{I.D\text{'}NF} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{a^2}{4}.\frac{a}{3} = \frac{a^3}{72}$

$V_{A.A\text{'}MN} =\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{9a^2}{4}.a =\frac{3a^3}{8}$

Từ đó suy ra :

$V_H = V_{A.A\text{'}MN} = -V_{J.B\text{'}ME} - V_{I.D\text{'}NF} = \frac{3a^3}{8}-2.\frac{a^3}{72} = \frac{25}{72}{a}^3$