Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x+y+2z+1 =0 và mặt phẳng (β) có phương trình 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng $\left(\alpha \right)$cắt $\left(\beta \right)$.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao của (α) và $(\beta )$.

c) Tìm điểm M' là ảnh của M(4; 2; 1) qua phép đối xứng qua mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

d) Tìm điểm N' là ảnh của N(0; 2; 4) quá phép đối xứng qua đường thẳng d.

Giải 

a) Mp (α) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(4;1;2)$

Mp (β) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\beta }}=(2;-2;1)$

$\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{n_{\beta }}$không cùng phương nên (α) cắt (β).

b) $\left[\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{n_{\beta }}\right] =\left(5;0;-10\right)=5(1;0;-2)$

Gọi $d = \alpha \cap \beta$

Vectơ chỉ phương của d vuông góc với $\overrightarrow{n_{\alpha }} và \overrightarrow{n_{\beta }}$

Nên $\overrightarrow{a_d}=\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{n_{\beta }} \right]=\left(1;0;-2\right)$

Tìm điểm M trên d cho x = 0 ta tìm y, z từ hệ:

$\left\{\begin{array}{l}y+2z+1=0\\ -2y+z+3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=1\\ z=-1\end{array}\right.$

$Vậy M(0;1;-1)\in d$

Phương trình tham số của d là: $\left\{\begin{array}{c}x = t\\ y=1\\ z=-1-2t\end{array}\right.$

c) Phương trình của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua M và vuông góc với $(\alpha )$ là $\left\{\begin{array}{c}x =4+4t\\ y=2+t\\ z=1+2t\end{array}\right.$

Để tìm giao điểm của $M_o$ của Δ với (α) ta giải phương trình

$4(4+4t) + 2+ t +2(1+2t) + 1 = 0 \iff 21t +21 = 0 \iff t = 1$

$Suy ra x = 0; y= 1; z = -1$

Vậy $M_o\left(0;1;-1\right)$

Vì M' là điểm đối xứng của M qua $(\alpha )$ nên: MM' = 2$M_o$ suy ra M'(-4; 0 ;-3)

d) Mặt phẳng (γ) qua N và vuông góc với d có phương trình: $x -2(z-4) = 0 \iff x - 2z + 8 = 0$ 

Để tìm giao điểm $N_o$ của d và (γ) ta giải phương trình:

$t - 2(-1 - 2t) + 8 = 0 \iff 5t + 10 = 0 \iff t = -2$

$Khi đó x = -2; y = 1; x = 3.$

$Vậy N_o(-2;1;3)$

Vì N' là điểm đối xứng của N qua d nên $\overrightarrow{NN\text{'}}=2\overrightarrow{N{N}_o}$

Suy ra N'(-4; 0; 2).