Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2=a^2 ( a > 0 )$

a) Tính diện tích của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu tương ứng.

b) Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) theo một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).

c) Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận (C) làm đáy và có chiều cao là $a\sqrt{3}$ . Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

Giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm $I(0;0;0)$, bán kính r = 2a.

Diện tích mặt cầu (S): $S=4\pi . r^2=16.\pi a^2$

Thể tích của khối cầu: $V = \frac{4}{3}\pi r^3= \frac{32}{3}\pi .a^3$

b) Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z = 0.

Gọi $M(x,y,z)$ là điểm thuộc (C) ta có, tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình: 

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=4a^2\\ z=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4a^2\\ z=0\end{array}\right.$

Vậy (C) là đường tròn có tâm O(0;0;0), bán kính là r' = 2a.

c) Diện tích xung quanh khối trụ: $S_{xq}=2\pi .r.h= 2\pi .2a.a\sqrt{3}=4\pi a^2\sqrt{3}$

Thể tích khối trụ: $V=\pi .r^2.h= 4\pi a^2.a\sqrt{3}=4\pi a^3\sqrt{3}$