Cho hai đường thẳng chéo nhau:

$d: \left\{\begin{array}{c}x=2-t\\ y=-1+t\\ z=1-t\end{array}\right.; d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=2+2t\text{'}\\ y=t\text{'}\\ z=1+t\text{'}\end{array}\right.$

a) Viết phương trình các mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau và lần lượt chứa d và d'.

b) Lấy hai điểm M(2; -1; 1) và M'(2; 0; 1) lần lượt trên d và d'. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (β) và khoảng cách từ M' đến mặt phẳng (α). So sánh hai khoảng cách đó

Giải

a) Ta có $\overrightarrow{a}=\left(-1;1;-1\right);\overrightarrow{b}=\left(2;1;1\right)$ lần lượt là VTCP của d và d'.

$\left[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right]=\left(2;-1;-3\right)$

Hai mặt phẳng(α)và(β)song song với nhau nên có cùng vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right]=\left(2;-1;-3\right)$

Lấy điểm A(2;-1;1) trên d và điểm A'(2;0;1) trên d'.

- Ta có (α) đi qua A(2;-1;1) và nhận $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right]=\left(2;-1;-3\right)$ làm VTPT nên có phương trình là: $2(x-2)-1(y+1)-3(z-1)=0\iff 2x-y-3z-2=0$

-Ta có (β )đi qua A'(2;0;1) và nhận $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right]=\left(2;-1;-3\right)$ làm VTPT nên có phương trình là: $2(x-2)-1(y-0)-3(z-1)=0\iff 2x-y-3z-1=0$

b) $d ( M , (\beta \left)\right) =\frac{\left|2\left(2\right)-(-1)-3\left(1\right)-1\right|}{\sqrt{4+1+9}}=\frac{1}{\sqrt{14}}$

$d ( M\text{'}, (\beta \left)\right) =\frac{\left|2\left(2\right)-\left(0\right)-3\left(1\right)-2\right|}{\sqrt{4+1+9}}=\frac{1}{\sqrt{14}}$

$Vậy d( M\text{'}, ( \alpha \left)\right)=d( M,( \beta \left)\right) .$