Hướng dẫn giải Bài 12 (Trang 101 SGK Toán Hình học 12)

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mi>C</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mi>D</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math>  a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). c) Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD). Giải a) Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>B</mi><mi>D</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math>  Vecto pháp tuyến của (BCD) là : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfenced open="[" close="]"><mrow><mover><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mrow><mi>B</mi><mi>D</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math><span id="MathJax-Element-4-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="box-sizing: border-box; margin: 0px; padding: 1px 0px; overflow-wrap: normal; word-break: break-word; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: 400; font-size: 18.08px; letter-spacing: normal; word-spacing: 0px; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; color: #131313; font-family: Quicksand; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; orphans: 2; widows: 2; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: #ffffff; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>&#x2212;</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mover><mrow><mi>B</mi><mi>D</mi></mrow><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>&#x2212;</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></math>"> Phương trình mặt phẳng (BCD) là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mi>y</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mn>7</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></math> Thay toạ độ điểm A vào phương trình của (BCD) ta được:<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>7</mn><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>14</mn><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>s</mi><mi>u</mi><mi>y</mi><mo> </mo><mi>r</mi><mi>a</mi><mo> </mo><mi>A</mi><mo>∉</mo><mo>(</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>)</mo></math> Vậy ABCD là một tứ diện b) Mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với (BCD) có bán kính: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>,</mo><mo>(</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mfenced open="|" close="|"><mrow><mo>-</mo><mn>14</mn></mrow></mfenced><msqrt><msup><mn>1</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>3</mn><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac><mo>=</mo><msqrt><mn>14</mn></msqrt></math> Vậy phương trình của mặt cầu (S) là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>14</mn></math> c) Gọi <span id="MathJax-Element-10-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="box-sizing: border-box; margin: 0px; padding: 1px 0px; overflow-wrap: normal; word-break: break-word; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: 400; font-size: 18.08px; letter-spacing: normal; word-spacing: 0px; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; color: #131313; font-family: Quicksand; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; orphans: 2; widows: 2; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: #ffffff; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">&#x0394;</mi></math>">Δ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD). Phương trình tham số của <span id="MathJax-Element-11-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="box-sizing: border-box; margin: 0px; padding: 1px 0px; overflow-wrap: normal; word-break: break-word; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: 400; font-size: 18.08px; letter-spacing: normal; word-spacing: 0px; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; color: #131313; font-family: Quicksand; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; orphans: 2; widows: 2; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: #ffffff; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">&#x0394;</mi></math>">Δlà: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><mi>t</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>t</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>t</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></math> Thay x= 3+t, y=-2+2t, z=-2+3t vào phương trình mp(BCD) ta được:<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>7</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> Khi đó x = 4; y= 0; z = 1 Vậy I(4;0;1) là tiếp điểm của (S) với mp(BCD).

Hướng dẫn Giải Bài 12 (trang 100, SGK Toán 12, Hình học)

GV:

GV colearn

Xem lời giải bài tập khác cùng bài

Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 99 SGK Toán Hình học 12)