Trong không gian Oxyz cho bốn điểm $A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1) và D(-1;1;2)$ 

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD).

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}= (-3;0;1), \overrightarrow{BD}= (-4;-1;2)$

 Vecto pháp tuyến của (BCD) là : $\overrightarrow{n} = \left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=(1;2;3)$

Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

$1(x -3) + 2(y - 2) + 3z = 0 \iff x + 2y + 3z -7 = 0$

Thay toạ độ điểm A vào phương trình của (BCD) ta được:$1\left(3\right)+2(-2)+3(-2)-7=-14\ne 0, suy ra A\notin \left(BCD\right)$

Vậy ABCD là một tứ diện

b) Mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với (BCD) có bán kính:

$R=d(A,(BCD\left)\right)=\frac{\left|-14\right|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\sqrt{14}$

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là:

${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+{(z+2)}^2=14$

c) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD). Phương trình tham số của $\Delta$là:

$\left\{\begin{array}{c}x=3+t\\ y=-2+2t\\ z=-2+3t\end{array}\right.$

Thay x= 3+t, y=-2+2t, z=-2+3t vào phương trình mp(BCD) ta được:$3+t+2(-2+2t)+3(-2+3t)-7=0\iff t=1$

Khi đó x = 4; y= 0; z = 1

Vậy I(4;0;1) là tiếp điểm của (S) với mp(BCD).