Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\left(d\right): \left\{\begin{array}{c}x=1-2t\\ y=2+t\\ z=3-t\end{array}\right.$và mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y+z=0$

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và $\left(\alpha \right)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left(\beta \right)$ qua A và vuông góc với (d).​

Giải:

a) Toạ độ giao điểm A của d và $\left(\alpha \right)$ là nghiệm của hệ phương trình.

$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=1-2t\end{array}\left(1\right)\\ y=2+t \left(2\right)\\ z=3-t \left(3\right)\end{array}\\ 2x+y+z=0 \left(4\right)\end{array}\right.$

Thay (1), (2), (3) và (4) ta được:

$2(1-2t)+2+t+3-t=0\iff -4t+7=0\iff t=\frac{7}{4}$

Khi đó $x=-\frac{10}{4};y=\frac{15}{4};z=\frac{5}{4}$

Vậy $A \left(-\frac{10}{4};\frac{15}{4};\frac{5}{4}\right)$

b) Đường thẳng d có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a_d}= (-2; 1;-1)$

Mp $( \beta )$ qua A vuông góc với đường thẳng d thì $( \beta )$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a_d}= (-2; 1;-1)$

Vậy mặt phẳng $( \beta )$ có phương trình:

$-2( x+\frac{10}{4})+1 ( y-\frac{15}{4})-1(z-\frac{5}{4})=0$

$\iff -2x+y-z-\frac{30}{4}=0\iff 4x-2y+2z+15=0$