Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.

a) Tính thể tích của hình nón theo r và h.

b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Giải:

a) Gọi A là điểm thuộc đường tròn đáy (C), H là tâm đường tròn (C), II' là đường kính mặt cầu (S). Tam giác AII' vuông tại A có đường cao AH nên :

$A{H}^2$ = HI.HI' = h(2r - h)

Thể tích hình nón là :

$V = \frac{1}{3}\mathrm{\pi }A{H}^2.h = \frac{1}{3}\mathrm{\pi }(2\mathrm{r}-\mathrm{h}){\mathrm{h}}^2$

b) Áp dụng bất đẳng thức abc $\le {\left[\frac{1}{3}\left(a +b+ c\right)\right]}^3$với a, b, c $> 0$ ta có: 

$V = \frac{\mathrm{\pi }}{6} \left(4r - 2h\right)h.h \le \frac{\mathrm{\pi }}{6}. {\left(\frac{4r - 2h +h+h}{3}\right)}^3 = \frac{32{\mathrm{\pi r}}^3}{81}$

Vậy V đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{32{\mathrm{\pi r}}^3}{81}$ kh 4r - 2h = h, hay h = $\frac{4r}{3}$