Trong không gian Oxyz cho các điểm $A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2)$

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ chứa AD và song song với BC.

Giải:

a) Mặt phẳng (ABC) có $\overrightarrow{AB}= (-2;-2; 2) và \overrightarrow{AC} = (2;0; 3)$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right] =(-6; 10;4 )$

Suy ra mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}= -\frac{1}{2}.\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right] = (3;-5;2)$.

Vậy phương trình của (ABC) là:

$3(x+1)-5(y-2)-2z=0\iff 3x-5y-2z+13=0$

Đường thẳng AD đi qua điểm A và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AD} = (1;1; -2)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng AD là: $\left\{\begin{array}{c}x=-1+t\\ y=2+t\\ z=-2t\end{array}\right.$

b) Ta có $\overrightarrow{AD}= (1;1; -2) ; \overrightarrow{BC}= (4;2; 1)$

$\left[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\right] =(5; -9;-2)$

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa AD và song song với BC.

Suy ra $\left(\alpha \right)$ có một VTPT : $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\right] =(5; -9;-2)$

Phương trình mp $( \alpha )$ là:

$5(x+1)-9(y-2)-2z=0\iff 5x-9y-2z+23=0.$