Bài 1 (Trang 145 SGK Toán Giải tích 12):

Cho hàm số: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{ax}}^2 - 2(\mathrm{a}+1)\mathrm{x} + \mathrm{a} + 2 (\mathrm{a}\ne 0)$

a. Chứng minh rằng phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực. Tính các thực nghiệm đó.

b. Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x)=0. Khảo sát sự biến thiên 

và vẽ đồ thị của S và P theo a.

Hướng dẫn giải:

a. Vì a+(-2a-2)+a+2=0 nên phương trình f(x)=0 luôn có hai nghiệm thực $x_1=1;x_2=\frac{a+2}{a}$

b. $S=x_1+x_2=\frac{2(a+1)}{a}; P=x_1{x}_2=\frac{a+2}{a}$

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S=$2+\frac{2}{a}$

Tập xác định: R$/$$\left\{0\right\}$

$S^{\text{'}}=\frac{2}{a^2}<0, \forall a\ne 0 nên hàm số nghịch biến thiên trên từng khoảng (-\infty ;0) và (0;+x)$

Tiệm cận đứng a=0; tiệm cận ngang S = 2

Giao của ($C_1$): S=2+$\frac{2}{a} với Oa: S=0\Rightarrow a=-1$

Đồ thị ($C_1$): $S=2+\frac{2}{a}là đường nét liền$

Tịnh tiến đồ thị ($C_1$) song song với trực tung xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị

($C_2$): $P=1+\frac{2}{a} (nét đứt)$