Bài 5 (Trang 146 SGK Toán Giải tích 12):

Cho hàm số $y=x^4+a{x}^2+b$

a) Tính a, b để hàm số có cực trị bằng $\frac{3}{2}$ khi x=1.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi $a=-\frac{1}{2}, b=1.$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $y\text{'}=4x^3+2ax$

    Hàm số có cực trị bằng $\frac{3}{2}$ khi x=1

   $\iff \left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(1\right)=0\\ y\left(1\right)=\frac{3}{2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}4+2a=0\\ a+b=\frac{1}{2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.\right.\right.$

b) Khi $a=-\frac{1}{2}, b=1 ta có y=x^4-\frac{1}{2}{x}^2+1$

    Tập xác định: $D=R$

   $$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-x=x(4x^2-1) \\ y\text{'}=0 \iff {[}_{x=\pm \frac{1}{2} (y=\frac{15}{16})}^{x=0 (y=1)} \end{gathered}$$

   $\underset{x\to \pm \alpha }{lim y}=+\infty$

 Bảng biến thiên:

c) Ta có: 

$$\begin{gathered} y=1 \iff x^4-\frac{1}{2}{x}^2+1=1 \iff x^4-\frac{1}{2}{x}^2=0 \\ \iff x^2(x^2-\frac{1}{2})=0 \iff {[}_{x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}}^{x=0} \end{gathered}$$

 Ta có ba tiếp điểm: $A(0;1) , B(\frac{1}{\sqrt{2}};1), C(-\frac{1}{\sqrt{2}};1)$

• Tại A(0;1) ta có y'(0)=0

       Phương trình tiếp tuyến tại A: $y-1=0 \iff y=1$

• Tại $B(\frac{1}{\sqrt{2}};1) ta có y\text{'}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

       Phương trình tiếp tuyến tại B:        $y-1=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-\frac{1}{\sqrt{2}}) \iff y=\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{2}$.

• Tại $C(-\frac{1}{\sqrt{2}};1) ta có y\text{'}(-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

     Phương trình tiếp tuyến tại C: $y-1=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\frac{1}{\sqrt{2}}) \iff y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{2}$