Bài 3 (Trang 146 SGK Toán Giải tích 12):

Cho hàm số $\mathrm{y} = {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+1$

a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1;2) và B(-2;-1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị

tìm được của a và b.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn

bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

a) Để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1;2) và B(-2;-1), ta phải có:

$\left\{\begin{array}{l}2 = 1 + \mathrm{a} + \mathrm{b} + 1\\ -1 = -8 + 4\mathrm{a} = 2\mathrm{b} + 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a} + \mathrm{b} = 0\\ 2\mathrm{a} - \mathrm{b} = 3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a} = 1\\ \mathrm{b} = -1\end{array}\right.$

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 1, b = -1

$\mathrm{y} = {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{x}}^2 - \mathrm{x} + 1$

TXĐ: D=R

${\mathrm{y}}^{\text{'}}=3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1$

${\mathrm{y}}^{\text{'}}=0 \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1 (\mathrm{y}=2)\\ \mathrm{x}=\frac{1}{3} (\mathrm{y}=\frac{22}{27})\end{array}\right.$

$\underset{x\to -x}{\lim y}=-\infty$; $\underset{x\to 1x}{\lim y}=+\infty$

c. Thể tích vật thể xoay tròn cần tìm là:

$\mathrm{V} = \mathrm{\pi }{\int }_0^1{({\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1)}^2\mathrm{dx} = \mathrm{\pi }{\int }_0^1({\mathrm{x}}^0+2{\mathrm{x}}^5-{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1)\mathrm{dx} = \mathrm{\pi }{\left(\frac{{\mathrm{x}}^7}{7}+\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}+\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}+{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\right)}_0^1=\frac{134\mathrm{\pi }}{105}$