Cho hàm số $y=\frac{2}{2-x}.$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) cùa hàm số đã cho.

b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số $y=x^2+1$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y=0, x=0, x=1 xung quanh Ox.

Hướng dẫn trả lời

a) Tập xác định: D= R / {2}.

    $y\text{'}=\frac{4}{{(2-x)}^2} >0, \forall x\ne 2$.

  Tiệm cận đứng x=2, tiệm cận ngang y=0.

  Bảng biến thiên:

b) Hoành độ giao điểm của (C) với đồ thị hàm số $y=x^2+1$, nghiệm của phương trình:

     $$\begin{gathered} \frac{2}{2-x}=x^2+1\iff 2=(x^2+1)(2-x) với x\ne 2 \\ \iff x(-x^2+2x-1)=0 \iff {[}_{x=1}^{x=0} \end{gathered}$$

   Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{{(2-x)}^2}$

• $$\begin{gathered} x=0 \Rightarrow y=1 và f\text{'}\left(0\right)=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow phương trình tiếp tuyến có dạng y=\frac{1}{2}x+1; \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} x=1 \Rightarrow y=2 và f\text{'}\left(1\right)=2 \\ \Rightarrow phương trình tiếp tuyến có dạng y=2(x-1)+2 hay y=2x. \end{gathered}$$

c) Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:

        $V=\pi {\int }_0^1{\left(\frac{2}{2-x}\right)}^{2}dx=4\pi {\int }_0^1\frac{dx}{{(2-x)}^2}=4\pi \frac{1}{2-x}{|}_0^1=4\pi (1-\frac{1}{2})=2\pi \left(đvdt\right).$