Bài 2 (Trang 145 SGK Toán Giải tích 12):

Cho hàm số $\mathrm{y} = -\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3+(\mathrm{a}-1){\mathrm{x}}^2+(\mathrm{a}+3)\mathrm{x}-4$

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0.

b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng x = -1, x = 1.

Hướng dẫn giải:

a) Khi a = 0 ta có $\mathrm{y} = -\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-4$                                                                                          

Tập xác định: D = R

$\underset{\mathrm{x}\to -\mathrm{x}}{\lim }\mathrm{y} = +\infty$, $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\mathrm{y} = -\infty$

${\mathrm{y}}^{\text{'}}=-{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3; {\mathrm{y}}^{\text{'}}=0\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1 (\mathrm{y}=\frac{7}{3})\\ \mathrm{x}=-3 (\mathrm{y}=-13)\end{array}\right.$

b. Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = {\int }_{-1}^1\left|-\frac{1}{3}{x}^3-x^2+3x-4\right|dx={\int }_{-1}^1\left(\frac{1}{3}{x}^3+x^2-3x+4\right)dx ={\left(\frac{1}{12}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-3\frac{x^2}{2}+4x\right)}_{-1}^1 = \frac{26}{3} \left(đvdt\right)$