Giải các phương trình sau trên tập số phức:

$$\begin{gathered} a) (3+2i)z-(4+7i)=2-5i; \\ b) (7-3i)z+(2+3i)=(5-4i)z; \\ c) z^2-2z+13=0; \\ d) z^4-z^2-6=0. \end{gathered}$$

Hướng dẫn trả lời

$$\begin{gathered} a) (3+2i)z-(4+7i)=2-5i \\ \iff z=\frac{(2-5i)+(4+7i)}{3+2i} \iff z=\frac{6+2i}{3+2i} \iff z=\frac{22}{13}-\frac{6}{13}i. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b) (7-3i)z+(2+3i)=(5-4i)z \iff (5-4i-7+3i)z=2+3i \\ \iff z=-\frac{2+3i}{2+i}\iff z=-\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i. \end{gathered}$$

c) Phương trình đã cho có $∆\text{'}=1-13=12i^2 nên z=1\pm 2\sqrt{3}i$

d) Đặt $t=z^2$, ta có phương trình bậc hai $t^2-t-6=0$ với hai nghiệm là t=-2; t=3.

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là $z_{1,2}=\pm \sqrt{3}, z_{3,4}=\pm \sqrt{2}i$