Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

$$\begin{gathered} a) f(x)=2x^3-3x^2-12x+1 trên đoạn \left[-2;\frac{5}{2}\right] \\ b) f\left(x\right)=x^2\ln x trên đoạn \left[1;e\right] \\ c) f(x)=x{e}^{-x} trên nửa khoảng \left[0;+\infty \right] \\ d) f\left(x\right)=2\sin x+\sin 2x trên đoạn \left[0;\frac{3\pi }{2}\right]. \end{gathered}$$

Hướng dẫn trả lời

a) $D=\left[-2;\frac{5}{2}\right]. HSLT trên \left[-2;\frac{5}{2}\right]$

   $f\left(x\right) =6x^2-6x-12; f\text{'}\left(x\right)=0\iff {[}_{x=2\in D}^{x=-1\in D}$

  Ta có: $f(-1)=8, f\left(2\right)=-19, f(-2)=-3, f\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{33}{2}$

 Vậy $\underset{x\in D}{maxf\left(x\right)}=8, \underset{x\in D}{minf\left(x\right)}=-19.$

b) $D=\left[1;e\right]. HSLT trên \left[1;e\right]$

   $f\left(x\right)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)>0, \forall x\in \left[1;e\right]$

 Do đó: $\underset{x\in D}{maxf\left(x\right)}=f\left(e\right)=e^2 ; \underset{x\in D}{minf\left(x\right)}=f\left(1\right)=0$.

c) $D=\left[0;+\infty \right]$

   $f\text{'}\left(x\right)=0 \iff x=1; \underset{x\to +\infty }{lim f\left(x\right)}=0, f\left(0\right)=0, f\left(1\right)=\frac{1}{e}$

Bảng biến thiên:

$\underset{x\in D}{maxf\left(x\right)}=f\left(1\right)=\frac{1}{e}; \underset{x\in D}{minf\left(x\right)}=f\left(0\right)=0$

d) $D=\left[0;\frac{3\pi }{2}\right].HSLT trên D.$

          $$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2\cos x+2\cos 2x=2(\cos x+2{\cos }^{2}x-1); \\ f\text{'}\left(x\right)=0 \iff 2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0\iff {[}_{\cos x=\frac{1}{2}}^{\cos x=-1}\iff {[}_{x=\frac{\pi }{3}}^{x=\pi } \end{gathered}$$

Ta có: $f\left(0\right)=f\left(\pi \right)=0, f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}, f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-2$

Vậy $\underset{x\in D}{maxf\left(x\right)}=f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}; \underset{x\in D}{minf\left(x\right)}=f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-2.$