Giải các bất phương trình sau:

$$\begin{gathered} a) \frac{2^x}{3^x-2^x}\le 2 ; \\ b) {\left(\frac{1}{2}\right)}^{{\log }_2(x^2-1)} >1 ; \\ c) {\log }^{2}x +3\log x \ge 4 ; \\ d) \frac{1-{\log }_{4}x}{1+{\log }_{2}x} \le \frac{1}{4}. \end{gathered}$$

Hướng dẫn trả lời

a) Bất phương trình đã cho tương đương với $2-\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^x-1} \ge 0$

Đặt $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x (t>0)$, ta có bất phương trình $\frac{2t-3}{t-1}\ge 0$

$\iff 0<t<1 hoặc t\ge \frac{3}{2} \iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^x<1 hoặc {\left(\frac{3}{2}\right)}^x\ge \frac{3}{2} \iff {[}_{x\ge 1}^{x<0}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x<0 hoặc $x\ge 1$.

                     $S=(-\infty ;0) \cup [1; +\infty )$

b) Bất phương trình đã cho tương đương tỉ lệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}^2-1>0\\ {\log }_2(x^2-1)<0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-1>0\\ x^2-1<1\end{array}\iff 1<x^2<2\right.\right. \\ \iff 1<\left|x\right|<\sqrt{2} \iff -\sqrt{2}<x<-1 hoặc 1<x<\sqrt{2} \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

                 $S=(-\sqrt{2};-1) \cup (1;\sqrt{2})$

c) Điều kiện: x>0, đặt t=logx ta có:

         $t^2+3t-4\ge 0 \iff t\le -4 hoặc t\ge 1 \iff 0<x\le {10}^{-4} hoặc x\ge 10.$

   Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

               $S=(0;\frac{1}{10000}) \cup [10;+\infty )$

d) Điều kiện x>0m đặt $t={\log }_{2}x$, ta có bất phương trình:

       $$\begin{gathered} \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}t}{1+t}-\frac{1}{4}\le 0 \iff \frac{3-3t}{4(1+t)}\le 0 \iff t<-1 hoặc t\ge 1 \\ \iff 0<x<\frac{1}{2} hoặc x\ge 2. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là       $S=(0;\frac{1}{2}) \cup [2;+\infty ).$