Tính các tích phân sau bằng phương pháp biến đổi số:

$$\begin{gathered} a) {\int }_0^{\frac{\pi }{24}}\tan (\frac{\pi }{3}-4x)dx (đặt u=\cos (\frac{\pi }{3}-4x); \\ b) {\int }_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9+25x^2} (đặt x=\frac{3}{5}\tan t); \\ c) {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}x{\cos }^{4}xdx (đặt u=\cos x); \\ d) {\int }_{}^{}\frac{\sqrt{1+\tan x}}{{\cos }^{2}x}dx (đặt u=\sqrt{1+\tan x}). \end{gathered}$$

Hướng dẫn trả lời

a) Đặt $u=\cos (\frac{\pi }{3}-4x) \Rightarrow du=4\sin (\frac{\pi }{3}-4x)dx \Rightarrow \sin (\frac{\pi }{3}-4x)dx=\frac{du}{4}$

Đổi cận: 

Do đó: $$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\pi }{24}}\tan (\frac{\pi }{3}-4x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{24}}\frac{\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-4x)}{\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-4x)}dx \\ =\frac{1}{4}{\int }_{\frac{1}{2}}^{\raisebox{1ex}{$\sqrt{3}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\frac{du}{u}=\frac{1}{4}\ln {\left|u\right|}_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{8}\ln 3. \end{gathered}$$

b) Đặt $x=\frac{3}{5}\tan t \Rightarrow dx=\frac{3dt}{5{\cos }^{2}t}$

    Đổi cận: 

Do đó: $$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9+25x^2}={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{3dt}{5{\cos }^{2}t(9+9{\tan }^{2}t)} \\ =\frac{1}{15}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}dt=\frac{1}{15}(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})=\frac{\pi }{180} \end{gathered}$$

c) Đặt $u=\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx$

   Đổi cận: 

Do đó: $$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}x{\cos }^{4}xdx={\int }_1^0(u^2-1)u^{4}du \\ ={\int }_1^0(u^6-u^4)du=(\frac{u^7}{7}-\frac{u^5}{5}){|}_1^0=\frac{2}{25}. \end{gathered}$$

d) Đặt $u=\sqrt{1+\tan x} hay u^2=1+\tan x \Rightarrow 2udu=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}$

    Đổi cận: 

Do đó: ${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{1+\tan x}}{{\cos }^{2}x}dx={\int }_0^{\sqrt{2}}2u^{2}du=\frac{2}{3}{u}^3{|}_0^{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$