Hướng dẫn giải Bài 12 (Trang 147 SGK Toán Giải tích 12)

<p>Tính các tích phân sau bằng phương pháp biến đổi số:</p> <p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mfrac><mi>π</mi><mn>24</mn></mfrac></msubsup><mi>tan</mi><mo>(</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>đ</mi><mi>ặ</mi><mi>t</mi><mo> </mo><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>;</mo><mspace linebreak="newline"/><mi>b</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msubsup><mo>∫</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>5</mn></mfrac><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></msubsup><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>9</mn><mo>+</mo><mn>25</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>đ</mi><mi>ặ</mi><mi>t</mi><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac><mi>tan</mi><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>;</mo><mspace linebreak="newline"/><mi>c</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></msubsup><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>x</mi><msup><mi>cos</mi><mn>4</mn></msup><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>đ</mi><mi>ặ</mi><mi>t</mi><mo> </mo><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>;</mo><mspace linebreak="newline"/><mi>d</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow/><mrow/></msubsup><mfrac><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi></msqrt><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></mrow></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>đ</mi><mi>ặ</mi><mi>t</mi><mo> </mo><mi>u</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi></msqrt><mo>)</mo><mo>.</mo></math></p> <p><strong>Hướng dẫn trả lời</strong></p> <p>a) Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>⇒</mo><mi>d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mi>sin</mi><mo>(</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>u</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac></math></p> <p>Đổi cận: </p> <table style="border-collapse: collapse; width: 41.3077%; height: 57px;" border="1"> <tbody> <tr> <td style="width: 21.9007%;">x</td> <td style="width: 78.0993%;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mfrac><mi>π</mi><mn>24</mn></mfrac></math></td> </tr> <tr> <td style="width: 21.9007%;">u</td> <td style="width: 78.0993%;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac></math></td> </tr> </tbody> </table> <p>Do đó: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mfrac><mi>π</mi><mn>24</mn></mfrac></msubsup><mi>tan</mi><mo>(</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mfrac><mi>π</mi><mn>24</mn></mfrac></msubsup><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>(</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mi>π</mi><mn>3</mn></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>(</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mi>π</mi><mn>3</mn></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi><mspace linebreak="newline"/><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfrac bevelled="true"><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac></msubsup><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>u</mi></mrow><mi>u</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mi>ln</mi><msubsup><mfenced open="|" close="|"><mi>u</mi></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac><mi>ln</mi><mn>3</mn><mo>.</mo></math></p> <p>b) Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac><mi>tan</mi><mi>t</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>5</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>t</mi></mrow></mfrac></math></p> <p>    Đổi cận: </p> <table style="border-collapse: collapse; width: 42.2308%; height: 60px;" border="1"> <tbody> <tr> <td style="width: 17.7596%;">x</td> <td style="width: 82.2404%;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></math></td> </tr> <tr> <td style="width: 17.7596%;">t</td> <td style="width: 82.2404%;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></math></td> </tr> </tbody> </table> <p>Do đó: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>5</mn></mfrac><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></msubsup><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>9</mn><mo>+</mo><mn>25</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>6</mn></mfrac><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></msubsup><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>5</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>t</mi><mo>(</mo><mn>9</mn><mo>+</mo><mn>9</mn><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>15</mn></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>6</mn></mfrac><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></msubsup><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>15</mn></mfrac><mo>(</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>180</mn></mfrac></math></p> <p>c) Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>⇒</mo><mi>d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi></math></p> <p>   Đổi cận: </p> <table style="border-collapse: collapse; width: 54.6923%; height: 62px;" border="1"> <tbody> <tr> <td style="width: 22.576%;">x</td> <td style="width: 77.4284%;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></math></td> </tr> <tr> <td style="width: 22.576%;">u</td> <td style="width: 77.4284%;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mn>0</mn></math></td> </tr> </tbody> </table> <p>Do đó: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></msubsup><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>x</mi><msup><mi>cos</mi><mn>4</mn></msup><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>1</mn><mn>0</mn></msubsup><mo>(</mo><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><msup><mi>u</mi><mn>4</mn></msup><mi>d</mi><mi>u</mi><mspace linebreak="newline"/><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>1</mn><mn>0</mn></msubsup><mo>(</mo><msup><mi>u</mi><mn>6</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>u</mi><mn>4</mn></msup><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mfrac><msup><mi>u</mi><mn>7</mn></msup><mn>7</mn></mfrac><mo>-</mo><mfrac><msup><mi>u</mi><mn>5</mn></msup><mn>5</mn></mfrac><mo>)</mo><msubsup><mo>|</mo><mn>1</mn><mn>0</mn></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>25</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p> <p>d) Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi></msqrt><mo> </mo><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>y</mi><mo> </mo><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mn>2</mn><mi>u</mi><mi>d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></mrow></mfrac></math></p> <p>    Đổi cận: </p> <table style="border-collapse: collapse; width: 56.5385%; height: 43px;" border="1"> <tbody> <tr> <td style="width: 16.9388%;">x</td> <td style="width: 83.0612%;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></math></td> </tr> <tr> <td style="width: 16.9388%;">u</td> <td style="width: 83.0612%;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math></td> </tr> </tbody> </table> <p>Do đó: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>-</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></msubsup><mfrac><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi></msqrt><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></mrow></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></msubsup><mn>2</mn><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup><mi>d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi>u</mi><mn>3</mn></msup><msubsup><mo>|</mo><mn>0</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></math></p>

Hướng dẫn Giải Bài 12 (Trang 147, SGK Toán Giải Tích 12)

GV:

GV colearn

Xem lời giải bài tập khác cùng bài

Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 145 SGK Toán Giải tích 12)