Bài 6 (Trang 146 SGK Toán Giải tích 12):

Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+\mathrm{m}-1}$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ≠ -1.

c) Tính khoảng cách từ điểm (-1;1) đến tiếp tuyến d. Xác định a để khoảng cách đó là lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

a) Khi m = 2 ta có $\mathrm{y} = \frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+1}$

 TXĐ: D = R\{-1}

      $y\text{'}=\frac{3}{{(x+1)}^2} > 0, \forall x\ne -1$

Tiệm cận đứng: x = -1; tiệm cận ngang: y=1

Bảng biến thiên:

Giao điểm với trục Ox tại (2;0);

Giao điểm với trục Oy tại (0;-2).

b) Với $x=a \Rightarrow y=\frac{a-2}{a+1} (a \ne -1)$

    và $f\text{'}\left(a\right)=\frac{3}{{(a+1)}^2}$

Phương trình tiếp tuyến d có dạng:

     $$\begin{gathered} y=\frac{3}{{(a+1)}^2}(x-a)+ \frac{a-2}{a+1} \\ \iff {(a+1)}^{2}y=3(x-a)+(a-2)(a+1) \\ \iff 3x-{(a+1)}^{2}y+a^2-4a-2=0 \end{gathered}$$

Khoảng cách từ I(-1;1) đến d là:

     $$\begin{gathered} H=\frac{6\left|a+1\right|}{\sqrt{9+{(a+1)}^4}} \le \frac{6\left|a+1\right|}{\sqrt{6{(a+1)}^2}}=\sqrt{6} (áp dụng: A+B\ge 2\sqrt{AB}) \\ \iff maxh=\sqrt{6} khi và chỉ khi {(a+1)}^4=9 \iff a=-1\pm \sqrt{3}. \end{gathered}$$