Giải các phương trình sau:

$$\begin{gathered} a) {13}^{2x+1}-{13}^x-12=0; \\ b) (3^x+2^x)(3^x+3.2^x)=8.6^x; \\ c) {\log }_{\sqrt{3}}(x-2){\log }_{5}x=2.{\log }_3(x-2); \\ d) {\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x+6=0. \end{gathered}$$

Hướng dẫn trả lời

a) Đặt $t={13}^x (t>0)$ ta có phương trình $13t^2-t-12=0 \iff {[}_{t=-\frac{12}{13} \left(loại\right)}^{t=1}$

$t=1 \iff {13}^x=1 \iff x=0.$

Vậy S={0}.

b) Chia hai vế phương trình cho 6^x ta được:

    $\frac{3^x+2^x}{2^x}.\frac{3^x+3.2^x}{3^x}=8 \iff \left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^x+1\right]\left[1+3{\left(\frac{2}{3}\right)}^x\right]=8$

  Đặt $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x (t>0)$ ta có phương trình:

  $$\begin{gathered} (t+1)(1+\frac{3}{t})=8\iff t^2-4t+3=0 \iff {[}_{t=3}^{t=1} \\ \iff {[}_{{\left(\frac{3}{2}\right)}^x=3}^{{\left(\frac{3}{2}\right)}^x=1} \iff {[}_{x={\log }_{\frac{3}{2}}3}^{x=0}. \\ Vậy S\{0; {\log }_{\frac{3}{2}}3\}. \end{gathered}$$

c) Điều kiện: x>2. Ta có:

         $$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt{3}}(x-2).{\log }_{5}x=2{\log }_3(x-2) \iff 2{\log }_3(x-2).{\log }_{5}x=2{\log }_3(x-2) \\ \iff {\log }_3(x-2).({\log }_{5}x-1)=0 \iff {[}_{{\log }_{5}x=1}^{{\log }_3(x-2)=0}\iff {[}_{x=5}^{x=3} \\ Vậy S=\{3;5\}. \end{gathered}$$

d) Điều kiện: x>0

Đặt $t={\log }_{2}x$ ta có phương trình:

     $$\begin{gathered} t^2-5t+6=0 \iff {[}_{t=3}^{t=2} \iff {[}_{{\log }_{2}x=3}^{{\log }_{2}x=2}\iff {[}_{x=8}^{x=4}. \\ Vậy S=\{4;8\}. \end{gathered}$$