Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 107 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mfenced></math>, biết: a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac><mo> </mo><mo>;</mo><mo> </mo></math> b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>sin</mi><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac></mfenced><mo> </mo><mo>;</mo><mo> </mo></math> c) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mi>n</mi></msqrt></math> . Giải a) Xét hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>-</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac></math>                                    <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>></mo><mn>0</mn></math> vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo><</mo><mn>1</mn></math>     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math>dãy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mfenced></math> là dãy số tăng. Vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>></mo><mn>0</mn><mo>∀</mo><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mfenced></math> là dãy bị chặn dưới. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mfenced></math> không bị chặn trên vì với n lớn vô cùng thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></math> cũng lớn vô cùng. b) Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mi>sin</mi><mfenced><mn>1</mn></mfenced><mo>></mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mo><</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>u</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mi>sin</mi><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mfenced><mo>></mo><mn>0</mn></math>              <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>></mo><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo><</mo><msub><mi>u</mi><mn>3</mn></msub><mo>⇒</mo><mfenced><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mfenced></math> là dãy không tăng không giảm.    Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="|" close="|"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|"><mrow><mi>sin</mi><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac></mfenced></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>⇒</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>≤</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>v</mi><mi>ớ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo><mo>.</mo></math>    Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></math> là dãy bị chặn. c) Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo>.</mo></math> Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mi>n</mi></msqrt><mo>≥</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math>     do đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo><</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>≤</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>+</mo><mn>1</mn><mo> </mo></mrow></mfrac><mo>∀</mo><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>⇒</mo><mfenced><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mfenced><mo> </mo></math>là dãy bị chặn.     Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo><</mo><mn>0</mn></math>          <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo><</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>∀</mo><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo><mo>⇒</mo><mo>(</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>)</mo></math> là dãy số giảm.

Hướng dẫn Giải Bài 7a (trang 107, SGK Toán Đại số & Giải Tích 11)

GV:

GV colearn

Xem lời giải bài tập khác cùng bài

Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 107 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)