Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số $\left(u_n\right)$, biết:

a) $u_n=n+\frac{1}{n} ;$

b) $u_n={\left(-1\right)}^{n-1}\sin \left(\frac{1}{n}\right) ;$

c) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ .

Giải

a) Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=n+1+\frac{1}{n+1}-n-\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$

                                   $=1-\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0$ vì $\frac{1}{n\left(n+1\right)}<1$

    $\Rightarrow$dãy $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

Vì $u_n>0\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy bị chặn dưới. $\left(u_n\right)$ không bị chặn trên vì với n lớn vô cùng thì $u_n$

cũng lớn vô cùng.

b) Ta có: $u_1=\sin \left(1\right)>0; u_2=-\sin \left(\frac{1}{2}\right)<0; u_3=\sin \left(\frac{1}{3}\right)>0$

             $\Rightarrow u_1>u_2; u_2<u_3\Rightarrow \left(u_n\right)$ là dãy không tăng không giảm.

   Ta có: $\left|u_n\right|=\left|\sin \left(\frac{1}{n}\right)\right|\le 1\Rightarrow -1\le u_n\le 1, với \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*.$

   Vậy $u_n$ là dãy bị chặn.

c) Ta có $u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.$ Với $n\ge 1$ thì $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge \sqrt{2}+1,$

    do đó $0<u_n\le \frac{1}{\sqrt{2}+1 }\forall n\ge 1 \Rightarrow \left(u_n\right)$là dãy bị chặn.

    Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<0$

         $\Rightarrow u_{n+1}<u_n\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\Rightarrow \left(u_n\right)$ là dãy số giảm.