Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng nếu các số $a^2, b^2, c^2$ lập thành một cấp số cộng thì các số

 $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ cũng lập thành một cấp số cộng.

Giải 

Ta có $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ là cấp số cộng.

$\iff \frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\iff \frac{b-a}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}=\frac{c-b}{(a+b)(c+a)}$

$\iff \frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{c+b}\iff b^2-a^2=c^2-b^2\iff a^2, b^2, c^2$lập thành cấp số cộng.

Vậy nếu $a^2, b^2, c^2$ lập thành cấp số cộng thì các số $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ cũng lập thành cấp số cộng.