Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 107 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)

Chứng minh rằng với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo></math>, ta có: a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>13</mn><mi>n</mi></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></math> chia hết cho 6 ;  b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn><msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>15</mn><mi>n</mi><mo> </mo></math>chia hết cho 9. Giải a) Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>A</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><msup><mn>13</mn><mi>n</mi></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></math>, ta chứng minh <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>A</mi><mi>n</mi></msub><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>6</mn><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo></math> bằng phương pháp quy nạp toán học. Với n = 1 ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>A</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mn>12</mn><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>6</mn></math>. Vậy (1) đúng với n = 1. Giả sử (1) đúng với n = k, tức là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>A</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><msup><mn>13</mn><mi>k</mi></msup><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>6</mn></math>. Ta chứng minh <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>A</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>6</mn></math>. Thật vậy: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>A</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mn>13</mn><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>13</mn><mo>(</mo><msup><mn>13</mn><mi>k</mi></msup><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>12</mn><mo>=</mo><mn>13</mn><mo>.</mo><msub><mi>A</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mn>12</mn><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>6</mn></math> (vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>A</mi><mi>k</mi></msub><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>6</mn></math>) Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) đúng với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo></math>. b) Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mn>3</mn><msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>15</mn><mi>n</mi></math>, ta chứng minh <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>9</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo></math> Với n = 1, ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>B</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mn>18</mn><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>9</mn></math>. Giả sử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>B</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mn>3</mn><msup><mi>k</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>15</mn><mi>k</mi><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>9</mn></math> Khi đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>B</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>3</mn><msup><mfenced><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>15</mn><mfenced><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>3</mn><msup><mi>k</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>15</mn><mi>k</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>9</mn><mfenced><mrow><msup><mi>k</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>9</mn></math> (vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>B</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mn>3</mn><msup><mi>k</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>15</mn><mi>k</mi><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>9</mn></math>). Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub><mo> </mo><mo>⋮</mo><mo> </mo><mn>9</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo></math>.

Hướng dẫn Giải Bài 5 (trang 107, SGK Toán Đại số & Giải Tích 11)

GV:

GV colearn

Xem lời giải bài tập khác cùng bài

Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 107 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)