Chứng minh rằng với mọi $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, ta có:

a) ${13}^n-1$ chia hết cho 6 ; 

b) $3n^3+15n$chia hết cho 9.

Giải

a) Đặt $A_n={13}^n-1$, ta chứng minh $A_n ⋮ 6 \left(1\right) n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ bằng phương pháp quy nạp toán học. Với n = 1 ta có

$A_1=12 ⋮ 6$. Vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với n = k, tức là $A_k={13}^k-1 ⋮ 6$. Ta chứng minh $A_{k+1} ⋮ 6$.

Thật vậy: $A_{k+1}={13}^{k+1}-1=13({13}^k-1)+12=13.A_k+12 ⋮ 6$ (vì $A_k ⋮ 6$)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) đúng với mọi $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

b) Đặt $B_n=3n^3+15n$, ta chứng minh $B_n ⋮ 9, n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$

Với n = 1, ta có $B_1=18 ⋮ 9$. Giả sử $B_k=3k^3+15k ⋮ 9$

Khi đó $B_{k+1}=3{\left(k+1\right)}^3+15\left(k+1\right)=\left(3k^3+15k\right)+9\left(k^2+k+2\right) ⋮ 9$

(vì $B_k=3k^3+15k ⋮ 9$). Vậy $B_n ⋮ 9, n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.