Cho dãy số $\left(u_n\right)$, biết $u_1=2, u_{n+1}=2u_n-1$ (với $n\ge 1$).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy.

b) Chứng minh $u_n=2^{n-1}+1$ bằng phương pháp quy nạp.

Giải

a)

$$\begin{gathered} u_1=2, u_2=2u_1-1=3, u_3=2u_2-1=5 \\ {u}_4=2u_3-1=9, u_5=2u_4-1=17 \end{gathered}$$

b) Với n = 1 ta có $u_1=2^0+1=2$; đẳng thức đúng với n = 1

    Giả sử $u_k=2^{k-1}+1$; khi đó $u_{k+1}=2u_k-1=2\left(2^{k-1}+1\right)-1=2^k+1$

    Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1 nên đẳng thức đúng với mọi $n\ge 1$.