1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

a) Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên

• Xét chiều biến thiên của hàm số
  • Tính đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)$
  • Tìm các điểm tại đó $f\text{'}\left(x\right)=0$ hoặc không xác định
  • Xét dấu đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)$ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

• Tìm cực trị của hàm số
• Tính các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }y; \underset{x\to -\infty }{\lim }y$ và các giới hạn có kết quả là vô cực $(=\pm \infty )$, tìm các đường tiệm cận (nếu có)

Bước 3: Vẽ đồ thị 

• Xác định các điểm đặc biệt: giao với Ox, Oy điểm có tọa độ nguyên.
• Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

b) Chú ý

• Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm $I(x_0;f(x_0\left)\right)$ với $x_0$ là nghiệm của phương trình.
• Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số lẻ nhận $O(0;0)$ làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

2. Những dạng đồ thị của các hàm số thường gặp

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d (a\ne 0)$

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: $y=a{x}^4+b{x}^2+c (a\ne 0)$

c) Các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất: $y=\frac{ax+b}{cx+d} (c\ne 0, ad-bc\ne 0)$