Câu hỏi: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm nghiệm của các phương trình sau:

a)  $x^3-3x^2+5=0$;               b) $-2x^3+3x^2-2=0$;                    c) $2x^2-x^4=-1$.

Hướng dẫn Giải:

a) Xét hàm số  $y=x^3-3x^2+5$

• TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$
• $$\begin{gathered} y\text{'}=3x^2-6x= 3x(x-2); \\ y\text{'}=0 \iff [\begin{array}{c}x=0 (y=5)\\ x=2 (y=1)\end{array} \end{gathered}$$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty ; \underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$
• Bảng biến thiên 

• Đồ thị hàm số

Đồ thị (C) hàm số $y=x^3-3x^2+5$ cắt trục Ox tại một điểm nên phương trình $x^3-3x^2+5=0$ có nghiệm duy nhất.

b) Xét hàm số $y=-2x^3+3x^2-2$

• TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$
• $$\begin{gathered} y\text{'}=-6x^2+6x=-6x(x-1) \\ y\text{'}=0 \iff [\begin{array}{c}x=0 (y=-2)\\ x=1 (y=-1)\end{array} \end{gathered}$$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty ; \underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$
• Bảng biến thiên:

• Đồ thị hàm số:

Đồ thị (C) hàm số  $y=-2x^3+3x^2-2$ cắt trục Ox tại một điểm nên phương trình $-2x^3+3x^2-2=0$ có nghiệm duy nhất.

c) Xét hàm số $y=-x^4+2x^2$

• TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$
• $$\begin{gathered} y\text{'}=-4x^3+4x=-4x(x^2-1) \\ y\text{'}=0 \iff [\begin{array}{c}x=0 (y=0) \\ x=\pm 1 (y=1)\end{array} \end{gathered}$$
• $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=-\infty$
• Bảng biến thiên:

• Đồ thị hàm số:

Đường $y=-1$ cắt đồ thị (C) hàm số  $y=-x^4+2x^2$ tại hai điểm phân biệt nên phương trình

 $2x^2-x^4=-1$ có hai nghiệm phân biệt.