Câu hỏi: Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+m$.

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm $(-1;1)$.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi $m=1$.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng $\frac{7}{4}$.

Hướng dẫn Giải:

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-1;1)$ khi và chỉ khi $1=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+m \iff m=\frac{1}{4}$

b) Với $m=1$ ta có $y=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+1$

+ TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$

$y\text{'}=x^3+x=x(x^2+1); y\text{'}=0 \iff x=0 (y=1)$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số:

c) Ta có $y=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{7}{4} \iff x^4+2x^2-3=0 \iff x^2=1 \iff x=\pm 1$

Với $x=1$ ta có $y=\frac{7}{4}: A(1;\frac{7}{4})$

Với $x=-1$ ta có $y=\frac{7}{4}: B(-1;\frac{7}{4})$

Ta có $y\text{'}\left(1\right)=2; y\text{'}(-1)=-2$

Phương trình tiếp tuyến qua A là $y-\frac{7}{4}=y\text{'}\left(1\right)(x-1) \iff y=2x-\frac{1}{4}$

Phương trình tiếp tuyến qua B là $y-\frac{7}{4}=y\text{'}(-1)(x+1) \iff y=-2x-\frac{1}{4}$