Câu hỏi: Cho hàm số $y=\frac{mx-1}{2x+m}$

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A(-1;\sqrt{2})$.

c) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=2$.

Hướng dẫn Giải:

a) Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{-\frac{m}{2}\right\}$

$y\text{'}=\frac{m^2+2}{{(2x+m)}^2}>0, \forall m\in \mathrm{ℝ}$ và $\forall x\ne -\frac{m}{2}$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Ta có $\underset{x\to {\left(-\frac{m}{2}\right)}^{+}}{\lim }y=-\infty ; \underset{x\to {\left(-\frac{m}{2}\right)}^{-}}{\lim }y=+\infty$

Suy ra $x=-\frac{m}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

Tiệm cận đứng đi qua điểm $A(-1;\sqrt{2})$ khi $-\frac{m}{2}=-1 \iff m=2$.

c) Với $m=2$ ta có $y=\frac{2x-1}{2x+2}$

+ Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{-1\right\}$

$y\text{'}=\frac{6}{{\left(2x+2\right)}^2}>0, \forall x\ne -1$

+ Tiệm cận đứng: $x=-1$

+ Tiệm cận ngang: $y=1$

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số: