Câu hỏi:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số

$y\text{'}=-x^3+3x+1$.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau tham số m

$x^3-3x+m=0$

Hướng dẫn Giải:

a) TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$

$$\begin{gathered} y\text{'}=-3x^2+3=-3(x^2-1) \\ y\text{'}=0 \iff [\begin{array}{c}x=1 (y=3) \\ x=-1 (y=-1)\end{array} \end{gathered}$$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty ; \underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty$

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số:

b) Ta có $x^3-3x+m=0 \iff -x^3+3x+1=m+1$

Từ đồ thị ta có 

• $m+1<-1$ hoặc $m+1>3 \iff m<-2$ hoặc $m>2$. Phương trình có một nghiệm.
• $m+1=-1$ hoặc $m+1=3 \iff m=-2$ hoặc $m=2$. Phương trình có hai nghiệm.
• $-1<m+1<3 \iff -2<m<2$. Phương trình có 3 nghiệm.