Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^4+2x^2+3$.

Bằng đồ thị, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình $-x^4+2x^2+3=m$.

Lời giải chi tiết

* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^4+2x^2+3.$

1.TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$.

2. Sự biến thiên:

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty \end{gathered}$$

$y=-4x^3+4x$. Cho $y\text{'}=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=\pm 1.$

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên: $(-\infty ,-1); (0,1).$

Hàm số nghịch biến trên: $(-1,0); (1,+\infty )$$.$

Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại  $x=-1$ và $x=1$.

Hàm số đạt cực tiểu bằng 3 tại $x=0$.

Đồ thị