Câu hỏi: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số bậc ba sau:

a) $y=2+3x-x^3$;                                    b) $y=x^3+4x^2+4x$;

c) $y=x^3+x^2+9x$;                                  d) $y=-2x^3+5$.

Hướng dẫn Giải:

a)

+ TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$

$$\begin{gathered} y\text{'}=3-3x^2=3(1-x^2) \\ y\text{'}=0 \iff {[}_{x= 1 (y=0)}^{x=-1 (y=4)} \end{gathered}$$

 + $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty ; \underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số:

b) 

+ TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$

$$\begin{gathered} y\text{'}=3x^2+8x+4=3(1-x^2) \\ y\text{'}=0 \iff {[}_{x=-2 (y=0)}^{x=-\frac{2}{3} (y=-\frac{32}{27})} \end{gathered}$$

+ $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số:

c) 

+ TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$

+ $y\text{'}=3x^2+2x+9>0, \forall x\in \mathrm{ℝ}$

+ Hàm số luôn đồng biến và không có cực trị. 

+ $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$, đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+ Bảng biến thiên

+ Đồ thị hàm số:

d)

+ TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$

+ $y\text{'}=-6x^2\le 0, \forall x\in \mathrm{ℝ}$. Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định và không có cực trị.

+ $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty$, đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+ Bảng biến thiên

+ Đồ thị hàm số: