Bài 6 (Trang 15, SGK Toán 10, Bộ Chân Trời Sáng Tạo mới nhất, Tập 1)

Cho các mệnh đề sau:

P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”;

R: “Có số thực x sao cho x² + 2x – 1 = 0”.

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết lại các mệnh đề đã cho.

Hướng dẫn giải

a)  

+) Xét mệnh đề P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”:

Lấy số thực x bất kì, ta có:

Nếu x ≥ 0 thì |x| =  x;

Nếu x < 0 thì |x| = - x. Do đó |x| > x.

Suy ra với mọi x ∈ ℝ thì |x| ≥ x.

Vậy mệnh đề P đúng.

+) Xét mệnh đề Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”:

Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn n² = 10.

$$\begin{gathered} Xét n^2=10 \iff n = \sqrt{10} hoặc n = -\sqrt{10} \\ mà \sqrt{10}, - \sqrt{10} \notin \mathrm{\mathbb{N}} \\ Do đó không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu đầu bài. \\ Vậy mệnh đề Q sai. \end{gathered}$$

+) Xét mệnh đề R: “Có số thực x sao cho x² + 2x – 1 = 0”.

Xét phương trình x² + 2x – 1 = 0, có:

∆’ = 1² – 1.(-1) = 2 > 0 

Khi đó phương trình có hai nghiệm $x_1 = -1 + \sqrt{2}; x_2 = -1-\sqrt{2}$

Hai nghiệm này đều là các số thực. 

Do đó, tồn tại các số thực $x=-1+\sqrt{2}; x = -1-\sqrt{2}$ thỏa mãn x² + 2x – 1 = 0.

Vậy mệnh đề R đúng.

b) Bằng cách sử dụng kí hiệu, các mệnh đề được phát biểu như sau:

$$\begin{gathered} P: “\forall x \in \mathrm{ℝ}, \left|x\right|\ge x”; \\ Q: “\exists n \in \mathrm{\mathbb{N}}, n^2=10”; \\ R: “\exists x \in \mathrm{ℝ}, x^2+2x-1=0”. \end{gathered}$$