Thực hành 6 (Trang 13, SGK Toán 10, Bộ Chân Trời Sáng Tạo mới nhất, Tập 1)

Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”;

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề P $\Rightarrow$ Q và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí P ⇔ Q.

Hướng dẫn giải

a)

Mệnh đề P $\Rightarrow$ Q được phát biểu như sau: 

P $\Rightarrow$ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

Mệnh đề đảo Q $\Rightarrow$ P được phát biểu như sau: 

Q $\Rightarrow$ P: “Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là là hình vuông”.

b)

+) Tứ giác ABCD là hình vuông thì $\stackrel{⏜}{A} = \stackrel{⏜}{B} = \stackrel{⏜}{C} = \stackrel{⏜}{D} = {90}^o$

 ABCD là hình chữ nhật 

Hơn nữa do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Vì vậy mệnh đề P $\Rightarrow$ Q đúng. (1)

+) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình vuông (theo dấu hiệu nhận biết).

Do đó mệnh đề Q  P đúng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra P ⇔ Q và được phát biểu như sau:

“Tứ giác ABCD là hình vuông là điểu kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

“Nếu tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.