Bài 7 (Trang 86 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) $(t \ge 0)$, vị trí của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức $\left\{\begin{array}{l}x = 3 - 35t\\ y = -4 +\hspace{0.17em}25t\end{array}\right.$,vị trí của tàu B có toạ độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Tàu A di chuyển theo hướng vecto: $\overrightarrow{u_1} = (-35; 25)$
Tàu B di chuyển theo hướng vecto $\overrightarrow{u_2} = (-30; 40)$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường đi của hai tàu, ta có:

$\cos \alpha = \left|\cos (\overrightarrow{u_1}; \overrightarrow{u_2)}\right|$ $= \frac{\left|(-35).(-30) + 25.(-40)\right|}{\sqrt{{(-35)}^2 +\hspace{0.17em}{25}^2} . \sqrt{{(-30)}^{2 }+ {(-40)}^2}} = \frac{1}{5\sqrt{74}}$

b) Sau t giờ, vị trí của tàu A là điểm M có tọa độ là: $M(3 - 35t; -4 +\hspace{0.17em}25t)$

Sau t giờ, vị trí của tàu B là điểm N có tọa độ là: $N(4 - 30; 3 - 40t)$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{MN}\right| = \sqrt{{\left(1 +\hspace{0.17em}5t\right)}^2 +\hspace{0.17em}{(7 - 65t)}^2} = \sqrt{4250{(t - \frac{9}{85})}^2+\hspace{0.17em}\frac{40}{17} } \ge \sqrt{\frac{40}{17}}$

Suy ra MN nhỏ nhất xấp xỉ 1,53km khi $t = \frac{9}{85}$.

Vậy sau $\frac{9}{85}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu  gần nhau nhất và cách nhau 1,53km

c)  Vì tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu nên thời gian tàu A chạy là t = 0, do đó tàu A đứng ở vị trí A(3; – 4).

Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu chính là khoảng cách từ điểm A đến đường đi của tàu B chính là

đường thẳng d₂:

4x – 3y – 7 = 0.

Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 km.