Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Hướng dẫn giải Bài 53 (Trang 60 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
<p><em><strong>Tỉ số vàng:</strong></em> Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h. 16). Hãy tìm tỉ số ấy.</p>
<p>Đó chính là bài toán mà Ơ-Clit đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là <em>phép chia vàng</em> hay <em>phép chia hoàng kim</em>.</p>
<p><img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/2-HZxFAn.png" /></p>
<p>Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM>MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.</p>
<p><strong>Giải</strong></p>
<p>Giả sử M là điểm chia đoạn AB và AB có độ dài bằng a.</p>
<p><img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/3-IH9Ak9.png" /></p>
<p>Gọi độ dài của AM=x, 0<x<a. Khi đó MB=a-x.</p>
<p>Theo đầu bài: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>AM</mi><mi>AB</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>MB</mi><mi>AM</mi></mfrac></math> hay <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mfrac></math></p>
<p>Giải phương trình: x<sup>2 </sup>=a(a-x) hay x<sup>2 </sup>+x-1=0</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>=a<sup>2 </sup>+4a<sup>2 </sup>=5a<sup>2 </sup>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mo>∆</mo></msqrt></math> =a<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>5</mn></msqrt></math></p>
<p> x<sub>1 </sub>= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><msqrt><mn>5</mn><mo> </mo></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>(</mo><msqrt><mn>5</mn><mo> </mo></msqrt><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>(</mo><msqrt><mn>5</mn><mo> </mo></msqrt><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></p>
<p>Vì x>0 nên x<sub>2 </sub>không thỏa mãn điều kiện của ẩn</p>
<p>Vậy AM=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>(</mo><msqrt><mn>5</mn><mo> </mo></msqrt><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mfrac></math></p>
<p>Trả lời: Tỉ số cần tìm là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>AM</mi><mi>AB</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><msqrt><mn>5</mn><mo> </mo></msqrt><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mfrac></math></p>
<p><strong>Cách 2:</strong> Gọi tỉ số cần tìm là x, x>0.</p>
<p>Theo giả thiết ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>AM</mi><mi>AB</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>MB</mi><mi>AM</mi></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></math></p>
<p>Suy ra: AM=AB.x (1)</p>
<p> MB=AM.x</p>
<p>nhưng AB=AM+MB = AM+AM.x=AM(1+X) (2)</p>
<p>Thay biểu thức biểu diễn AM của (1) vào (2) ta được:</p>
<p> AM=AB.x(1+x)</p>
<p>Vì AB<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>≠</mo></math>0 nên từ đó suy ra: 1=(1+x)x hay x<sup>2 </sup>+x-1=0</p>
<p>Giải phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>=1<sup>2 </sup>-4(-1) =5, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mo>∆</mo></msqrt></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>5</mn></msqrt></math></p>
<p>x<sub>1 </sub>=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> (loại); x<sub>2 </sub>=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msqrt><mn>5</mn><mo> </mo></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math></p>
<p>Vậy tỉ số cần tìm là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>AM</mi><mi>AB</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><msqrt><mn>5</mn><mo> </mo></msqrt><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mfrac></math></p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Bài 41 (Trang 58 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 42 (Trang 58 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 43 (Trang 58 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 44 (Trang 58 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 45 (Trang 59 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 46 (Trang 59 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 47 (Trang 59 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 48 (Trang 59 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 49 (Trang 59 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 50 (Trang 59 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 51 (Trang 59 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 52 (Trang 60 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải