Tỉ số vàng: Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h. 16). Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-Clit đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM>MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.

Giải

Giả sử M là điểm chia đoạn AB và AB có độ dài bằng a.

Gọi độ dài của AM=x, 0<x<a. Khi đó MB=a-x.

Theo đầu bài: $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AM}}$ hay $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$

Giải phương trình: x² =a(a-x) hay x² +x-1=0

                             $∆$=a² +4a² =5a² , $\sqrt{∆}$ =a$\sqrt{5}$

                            x₁ = $\frac{-a+a\sqrt{5 }}{2}=\frac{a(\sqrt{5 }-1)}{2}, x_2=\frac{-a(\sqrt{5 }+1)}{2}$

Vì x>0 nên x₂ không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Vậy AM=$\frac{(\sqrt{5 }-1)}{2}$

Trả lời: Tỉ số cần tìm là: $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{(\sqrt{5 }-1)}{2}$

Cách 2: Gọi tỉ số cần tìm là x, x>0.

Theo giả thiết ta có: $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AM}}=\mathrm{x}$

Suy ra: AM=AB.x                                              (1)

           MB=AM.x

nhưng AB=AM+MB = AM+AM.x=AM(1+X)    (2)

Thay biểu thức biểu diễn AM của (1) vào (2) ta được:

                        AM=AB.x(1+x)

Vì AB$\ne$0 nên từ đó suy ra: 1=(1+x)x hay x² +x-1=0

Giải phương trình: $∆$=1² -4(-1) =5, $\sqrt{∆}$ = $\sqrt{5}$

x₁ =$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ (loại); x₂ =$\frac{-1+\sqrt{5 }}{2}$

Vậy tỉ số cần tìm là: $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{(\sqrt{5 }-1)}{2}$