Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a,b (a<b) và độ dài đường sinh là l (a, b, l có cùng đơn vị đo).

Giải

Kí hiệu như hình vẽ. Ta có hai tâm giác vuông AO'C và AOB đồng dạng vì có góc chung.

Nên $$\begin{gathered} \frac{l_1}{l - l_1}=\frac{a}{b} \Rightarrow l_1=\frac{a}{b}l - \frac{a}{b}{l}_1 \\ \Rightarrow \left(1 +\frac{a}{b}\right)l_1 = \frac{a}{b}l \Rightarrow l_1 = \frac{a}{a + b}l \end{gathered}$$

Diện tích xung quanh của hình nón lớn:

$S_{xq nón lớn}=\mathrm{\pi }.\mathrm{r}.\mathrm{l} = \mathrm{\pi }.\mathrm{b}.\mathrm{l}$

Diện tích xung quanh của hình nón nhỏ:

$S_{xq nón nhỏ}=\mathrm{\pi }.\mathrm{r}.{\mathrm{l}}_1 = \mathrm{\pi }.a.\frac{a}{a +b}l=\mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{a}}^2\mathrm{l}}{\mathrm{a} + \mathrm{b}}$

Diện tích xung quanh của hình nón cụt:

$$\begin{gathered} S_{xq nón cụt}= S_{xq nón lớn }- S_{xq nón nhỏ} \\ =\mathrm{\pi bl} - \mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{a}}^2\mathrm{l}}{\mathrm{a} + \mathrm{b}}= \left(\mathrm{b} - \frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{a} +\mathrm{b}}\right)\mathrm{\pi l} \\ =\left(\frac{{\mathrm{b}}^2 + \mathrm{ab} - {\mathrm{a}}^2}{\mathrm{a} +\mathrm{b}}\right)\mathrm{\pi l} \end{gathered}$$