Bài 2: Mặt cầu
Lý thuyết Mặt cầu
<p><strong>1. Định nghĩa:</strong></p>
<p>Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> cố định một khoảng không đổi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi><mfenced><mrow><mi>r</mi><mo>></mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math> được gọi là</p>
<p>một mặt cầu tâm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> bán kính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi></math> .</p>
<p><img title="" src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1543286073925_mat_cau.PNG" alt="" width="194" height="182" /></p>
<p>Kí hiệu: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mfenced><mrow><mi>O</mi><mo>;</mo><mo> </mo><mi>R</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mi>M</mi><menclose notation="left"><mo> </mo><mi>O</mi><mi>M</mi><mo>=</mo><mi>R</mi></menclose></mrow></mfenced></math></p>
<p>* Cho mặt cầu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mfenced><mrow><mi>O</mi><mo>;</mo><mo> </mo><mi>r</mi></mrow></mfenced></math> và điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> trong không gian.</p>
<p>- Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>r</mi></math> thì điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> nằm trên mặt cầu</p>
<p>- Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>A</mi><mo><</mo><mi>r</mi></math> thì điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> nằm trong mặt cầu.</p>
<p>- Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>></mo><mi>r</mi></math> thì điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> nằm ngoài mặt cầu.</p>
<p><strong>2. Tính chất:</strong></p>
<p>Nếu điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> ngoài mặt cầu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mfenced><mrow><mi>O</mi><mo>;</mo><mo> </mo><mi>r</mi></mrow></mfenced></math> thì:</p>
<p>- Qua <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.</p>
<p>- Độ dài các đoạn thẳng nối <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> với các tiếp điểm đều bằng nhau.</p>
<p>- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.</p>
<p><strong>3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng</strong></p>
<div><img title="" src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1543286146610_mat_cau_mat_phang.PNG" alt="" width="299" height="201" /></div>
<p>Cho mặt cầu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>S</mi></mfenced></math> tâm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> , bán kính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math> và mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math>, gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi></math> là hình chiếu của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> .</p>
<p>+ Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>H</mi><mo><</mo><mi>R</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>S</mi></mfenced></math> cắt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> theo đường tròn tâm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi></math> và bán kính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>O</mi><msup><mi>H</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></math> .</p>
<p>+ Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mi>R</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>S</mi></mfenced></math> tiếp xúc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> tại tiếp điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi></math>.</p>
<p>+ Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>></mo><mi>R</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>S</mi></mfenced></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> không có điểm chung.</p>
<p>Đặc biệt: Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mfenced><mrow><mi>O</mi><mo>≡</mo><mi>H</mi></mrow></mfenced></math> thì đường tròn giao tuyến của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math>và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>S</mi></mfenced></math> được gọi là đường tròn lớn, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> được</p>
<p>gọi là mặt phẳng kính.</p>
<p><strong>4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.</strong></p>
<div><img title="" src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1543286201105_mat_cau_duong_thang.png" alt="" width="265" height="188" /></div>
<p>Cho mặt cầu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>S</mi></mfenced></math> tâm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> , bán kính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math> và đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math>, gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi></math> là hình chiếu của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math>.</p>
<p>+ Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>H</mi><mo><</mo><mi>R</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>S</mi></mfenced></math> cắt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> tại 2 điểm phân biệt.</p>
<p>+ Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mi>R</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>S</mi></mfenced></math> cắt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> tại một điểm duy nhất <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi></math> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> là tiếp tuyến với mặt cầu, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi></math> là tiếp điểm)</p>
<p>+ Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>></mo><mi>R</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>S</mi></mfenced></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> không có điểm chung.</p>
<p><strong>5. Tiếp tuyến với mặt cầu (Đọc thêm)</strong></p>
<div><img title="" src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1543286266309_tiep_tuyen_mat_cau.png" alt="" width="243" height="187" /></div>
<p>- Qua một điểm nằm trong mặt cầu không vẽ được tiếp tuyến nào với mặt cầu.</p>
<p>- Qua một điểm nằm trên mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm đó. Tập hợp các tiếp tuyến</p>
<p>chính là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.</p>
<p>- Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm với mặt cầu</p>
<p>là đường tròn nằm trên mặt cầu.</p>
<p><strong>6. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu</strong></p>
<div id="equationcomment">
<div>Mặt cầu bán kính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi></math> có diện tích là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></math>.</div>
<div>Khối cầu bán kính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi></math> có thể tích là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup></math></div>
</div>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 43 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 45 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 3 (Trang 48 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 4 (Trang 48 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 8 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 9 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 10 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)
Xem lời giải