Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước. Giải <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/68ee720a-dfd5-4c47-b352-92ef5b3fd653.PNG" /> Phần thuận: Gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi mathvariant="script">C</mi></mfenced></math> là đường tròn cố định cho trước. Trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi mathvariant="script">C</mi></mfenced></math> ta lấy ba điểm A, B, C. Mặt cầu tâm O bán kính r qua <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi mathvariant="script">C</mi></mfenced></math> khi và chỉ khi OA = OB = OC hay tâm O của mặt cầu nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trục này là đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi mathvariant="script">C</mi></mfenced></math> tại tâm I của đường tròn đó. Phần đảo: Ngược lại, nếu ta lấy một điểm O' bất kì trên trục <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> thì với mọi điểm M bất kì trên đường tròn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi mathvariant="script">C</mi></mfenced></math> tâm I bán kính r' cho trước, ta đều có dộ dài của đoạn thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">O</mi><mo>'</mo><mi mathvariant="normal">M</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><mi mathvariant="normal">O</mi><mo>'</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi>IM</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><mi mathvariant="normal">O</mi><mo>'</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></math> không đổi. Như vậy đường tròn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi mathvariant="script">C</mi></mfenced></math> luôn luôn thuộc mặt cầu có tâm O' nằm trên trục <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>. Kết luận Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là một đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn nói trên tại tâm của đường tròn đó.