Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.

Giải

Phần thuận:

Gọi $\left(\mathcal{C}\right)$ là đường tròn cố định cho trước. Trên $\left(\mathcal{C}\right)$ ta lấy ba điểm A, B, C.

Mặt cầu tâm O bán kính r qua $\left(\mathcal{C}\right)$ khi và chỉ khi OA = OB = OC hay tâm O của mặt cầu nằm trên trục đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trục này là đường thẳng $∆$ vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn $\left(\mathcal{C}\right)$ tại

tâm I của đường tròn đó.

Phần đảo:

Ngược lại, nếu ta lấy một điểm O' bất kì trên trục $∆$ thì với mọi điểm M bất kì trên đường tròn $\left(\mathcal{C}\right)$ tâm I bán

kính r' cho trước, ta đều có dộ dài của đoạn thẳng $\mathrm{O}\text{'}\mathrm{M} = \sqrt{\mathrm{O}\text{'}{\mathrm{I}}^2 + {\mathrm{IM}}^2} = \sqrt{\mathrm{O}\text{'}{\mathrm{I}}^2 + {\mathrm{r}}^2}$ không đổi.

Như vậy đường tròn $\left(\mathcal{C}\right)$ luôn luôn thuộc mặt cầu có tâm O' nằm trên trục $∆$.

Kết luận

Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là một đường thẳng $∆$ vuông góc

với mặt phẳng chứa đường tròn nói trên tại tâm của đường tròn đó.